Propiedad universal

En matemáticas, más específicamente en la teoría de categorías, una propiedad universal es una propiedad que caracteriza salvo isomorfismo el resultado de algunas construcciones. Por lo tanto, las propiedades universales se pueden utilizar para definir o caracterizar algunos objetos, independientemente del método elegido para construirlos. Por ejemplo, las definiciones de los números enteros a partir de los números naturales, de los números racionales a partir de los números enteros, de los números reales a partir de los números racionales y de los anillos polinómicos del campo de sus coeficientes se pueden hacer en términos de propiedades universales. En particular, el concepto de propiedad universal permite una demostración simple de que todas las construcciones de números reales son equivalentes: basta con probar que satisfacen la misma propiedad universal.

Técnicamente, una propiedad universal se define en términos de categorías y funtores por medio de un morfismo universal (ver la definición formal, abajo). Los morfismos universales también pueden ser concebidos de manera más abstracta como objetos iniciales o terminales de una categoría de coma.

Las propiedades universales ocurren en casi todas partes en matemáticas, y el uso del concepto permite el uso de propiedades generales de las propiedades universales para probar fácilmente algunas propiedades que de otro modo necesitarían verificaciones aburridas. Por ejemplo, dado un anillo conmutativo ${\displaystyle R}$, el cuerpo de fracciones del anillo cociente de ${\displaystyle R}$ por un ideal primo ${\displaystyle p}$ puede identificarse con el cuerpo de residuos de la localización de ${\displaystyle R}$ en ${\displaystyle p}$; es decir, ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$ (todas estas construcciones se pueden definir mediante propiedades universales).

Otros objetos que pueden definirse por propiedades universales incluyen: todos los objetos libres, productos directos y sumas directas, grupos libres, retículos libres, grupo de Grothendieck, compleción de un espacio métrico, compleción de un anillo, topología producto, compactificación de Stone-Čech, producto tensorial, límite inverso y límite directo, kernels y cokernels, grupos cociente, espacio vectorial cocientes, y otros espacio de cocientes.